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Esercizi sui prodotti notevoli

Prima di leggere la parte dedicata agli esercizi è consigliabile leggere la sezione teoria

Risolviamo ora una serie di esercizi sui prodotti notevoli.

1) Somma per differenza o differenza di quadrati

Ricordiamo che la regola pratica per risolvere la somma per differenza è fare il quadrato del primo termine e sottrarlo al quadrato del secondo termine

a) (2x+1)(2x-1)=(2x)^2- (1)^2 = 4x^2-1

b) (-5x+3)(5x+3) = (3-5x)(3+5x)= (3)^2-(5x)^2= 9-25x^2

c) (\frac{3}{2}x -1)= (\frac{3}{2}x)^2-(1)^2= \frac{9}{4}x^2-1

d) (3-\frac{2}{5}x)= 3^2-(\frac{2}{5}x)^2= 9-\frac{4}{25}x^2

2) Quadrato di binomio

Ricordiamo che la regola pratica per svolgere il quadrato è fare il quadrato del primo termine sommarlo al quadrato del secondo termine e infine aggiungere il doppio prodotto del primo termine per il secondo

a) (3x+1)^2= (3x)^2+2(3x)(1)+(1)^2= 9x^2+6x+1

b) (-x+3)^2= (-x)^2+2(-x)(3)+(3)^2= x^2-6x+9

c) (\frac{2}{3}x -3)^2=(\frac{2}{3}x)^2 +2(\frac{2}{3}x)(-3)+(3)^2=\frac{4}{9}x^2-4x+9

d) (-2-\frac{1}{3}x)^2= (-2)^2+2(-2)(-\frac{1}{3}x)^2+(\frac{1}{3}x)^2= 4+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}x^2

3)Cubo di binomio

Ricordiamo che la regola pratica per risolvere il cubo è fare il cubo del primo termine, aggiungere il cubo del secondo e poi i tripli prodotti del primo per il quadrato del secondo e del secondo per il quadrato del primo.

a) (2x+1)^3= (2x)^3+3(2x)^2(1)+3(2x)(1)^2+(1)^3+(1)^2= 8x^3+12x^2+6x+3

b) (-x+2)^3= (-x)^3+3(-x)^2(2)+3(-x)(2)^2+(2)^3= -x^3+12x^2-12x+8

c) (\frac{1}{2}x -2)^3=(\frac{1}{2}x)^3 +3(\frac{1}{2}x)^2(-2)+3(\frac{1}{2}x)(-2)^2+(-2)^3=\frac{1}{8}x^3 -\frac{3}{2}x^2+6x-8

d) (-\frac{2}{3}x -3)^3=-\frac{8}{27}x^3 -4x^2-18x-27

4)Quadrato di trinomio

Ricordiamo che per sviluppare il quadrato del trinomio occorre fare i quadrati dei tre monomi e poi aggiungere i doppi prodotti di tutte le coppie di monomi possibili.

a)

(y-2x+2)^3= y^2 +(-2x)^2+2^2+2(y)(-2x)+2(y)(2)+2(-2x)(2)=y^2+4x^2+4-4xy+4y-8x

b)

(2z+4x-1)^3= (2z)^2 +(4x)^2+(-1)^2+2(2z)(4x)+2(2z)(-1)+2(4x)(-1)=4z^2+16x^2+1-16xz-4z-8x


Prodotti Notevoli

I prodotti notevoli sono delle formule che ci consentono di trovare delle scorciatoie per il calcolo della moltiplicazione tra alcuni polinomi e del loro elevamento a potenza.

1) Somma per differenza o differenza di quadrati

La somma per differenza si presenta nella forma

(A+B)(A-B)

Se svolgessimo i calcoli con la normale moltiplicazione tra polinomi otterremmo

A^2-AB+AB+B^2

da cui, eliminando i termini opposti, otteniamo

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

Una regola pratica per svolgere velocemente la somma per differenza è fare il quadrato del primo termine e sottrarre il quadrato del secondo.

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2) Quadrato del binomio

Si presenta nella forma:

(A+B)^2 oppure (A-B)^2

Se scrivessimo la potenza in forma estesa potremmo scrivere (A+B)(A+B)

da cui eseguendo le moltiplicazioni:

(A+B)(A+B) = A^2+AB+AB+B^2 = A^2+ 2AB+B^2

si osserva quindi che il quadrato del binomio è composto dai quadrati dei due termini tra parentesi e dal doppio prodotto di questi due ( cioè il primo per il secondo per 2)
N.B. Se tra i due termini compare il segno negativo anziché quello positivo, il doppio prodotto è negativo anch’esso.

Pertanto

(A+B)^2= A^2+2AB+B^2
(A-B)^2= A^2-2AB-B^2

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3) Cubo del binomio

Si presenta nella forma

(A+B)^3

Scritto in forma estesa otterremmo

(A+B)(A+B)(A+B)=(A^2+AB+AB+B^2)(A+B)=  (A^3+A^2B+A^2B+AB^2+A^2B+AB^2+AB^2+B^3)=(A^3+3A^2B+3AB^2+B^3)

Il cubo del binomio quindi è composto dal cubo dei due termini e dai tripli prodotti del quadrato del primo per il secondo e del quadrato del secondo per il primo.
N.B. Se uno dei due termini è negativo dobbiamo ricordarci che solo due termini su quattro saranno positivi. Infatti i cubo di un numero negativo è ancora un numero negativo ed inoltre anche uno dei tripli prodotti sarà negativo.

Pertanto

(A+B)^3= (A^3+3A^2B+3AB^2+B^3)
(A-B)^3= (A^3-3A^2B+3AB^2-B^3)

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4) Quadrato del trinomio

Si presenta nella forma

(A+B+C)^2

Anche qui svolgiamo in i calcoli in forma estesa:

(A+B+C)(A+B+C)= A^2+AB+AC+AB+B^2+BC+AC+CB+C^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC

Il quadrato del trinomio è quindi formato dai quadrati dei tre monomi e da tutti i doppi prodotti tra i monomi presi a coppie. E’ chiaro che se i monomi all’interno delle parentesi sono negativi i doppi prodotti potranno essere anch’essi negativi.

Pertanto

(A+B+C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC
(A-B+C)^2= A^2+B^2+C^2-2AB-2BC+2AC
(A+B-C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB-2BC-2AC
(A-B-C)^2= A^2+B^2+C^2-2AB-2BC-2AC

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