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Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Che cos’è il massimo comun divisore?

Per trovare il Massimo Comun Divisore (MCD) tra due o più termini devo calcolare il più grande divisore comune a tutti i termini presi in considerazione.
Per calcolare tale divisore devo scomporre tutti i termini a disposizione e poi prendere i fattori comuni e con l’esponente più piccolo.
Posso calcolare il MCD:

1)Tra due numeri.

Calcoliamo il MCD tra i numeri 27, 36 e 270.

27= 1\cdot3^3
36 = 1\cdot2^2\cdot 3^2
54 = 1\cdot2\cdot 3^3\cdot 5

Consideriamo i termini che compongono i numeri: il termine 2 non è comune a tutti i termini perciò non farà parte del MCD; il termine 5 analogamente non potrà far parte del MCD poichè non è in comune a tutti i termini; il fattore 3 invece appartiene a tutti i termini e dovrò considerarlo con l’esponente più piccolo tra tutti quelli che ho a disposizione, quindi con esponente 2.

Quindi:

MCD= 3^2=9

N.B. Qualora non ci fossero termini in comune tra tutti i termini possiamo sempre considerare il termine 1 come fattore comune.

2)Tra due monomi.

Possiamo operare nello stesso modo per quanto riguarda la parte numerica. Per quanto riguarda la parte letterale basta prendere le lettere in comune a tutti i termini e con l’esponente più piccolo.

Calcoliamo il MCD tra i termini: 16a^3b^2c, 24abc^3, 45ab^4

16a^3b^2c= 1\cdot2^4a^3b^2c
24abc^3= 1\cdot2^3\cdot3abc^3
45ab^4= 1\cdot3^2\cdot5ab^4

Quindi avremo:
MCD parte numerica = 1
MCD parte letterale = ab

quindi:

MCD = ab

3)Tra due polinomi.

Per poter calcolare il MCD tra due polinomi bisogna effettuare la fattorizzazione dei polinomi.

Prendiamo in considerazione i seguenti polinomi con relativa scomposizione:

x^2+4x+4= (x+2)^2
x^2-4= (x+2)(x-2)
x^2+6x+8= (x+2)(x+4)

Il termine (x+2) è l’unico termine in comune a tutti i polinomi e dovrò considerarlo con l’esponente più piccolo, cioè 1.

Quindi:

MCD= (x+2)

Che cos’è il minimo comune multiplo?

Per trovare il Minimo Comune Multiplo (mcm) tra due o più termini devo calcolare il più piccolo multiplo di tutti i termini considerati.
Prendiamo in esame i tre casi precedenti e calcoliamo stavolta il mcm.

1)Tra due numeri.

Calcoliamo il mcm tra i numeri 27, 36 e 270.

27= 1\cdot3^3
36 = 1\cdot2^2\cdot 3^2
54 = 1\cdot2\cdot 3^3\cdot 5

Anche se il termine 2 non è comune a tutti i termini dobbiamo considerarlo lo stesso e con l’esponente più grande cioè ; stessa cosa per il termine 5 che comparirà con l’esponente 1; il fattore 3 è comune a tutti e comparirà con l’esponente 3

Quindi:

Mcm= 2^2\cdot3^3\cdot5=540

2)Tra due monomi.

Possiamo operare nello stesso modo per quanto riguarda la parte numerica. Per quanto riguarda la parte letterale basta prendere le lettere in comune e non in comune a tutti i termini e con l’esponente più grande.

Calcoliamo il mcm tra i termini: 16a^3b^2c, 24abc^3, 45ab^4

16a^3b^2c= 1\cdot2^4a^3b^2c
24abc^3= 1\cdot2^3\cdot3abc^3
45ab^4= 1\cdot3^2\cdot5ab^4

Quindi avremo:
Mcm parte numerica = 2^4\cdot3^2\cdot5
Mcm parte letterale = a^3b^4c^3b

quindi:

Mcm= 720a^3b^4c^3

3)Tra due polinomi.

Come visto in precedenza:

x^2+4x+4= (x+2)^2
x^2-4= (x+2)(x-2)
x^2+6x+8= (x+2)(x+4)

Il termine (x+2) è in comune a tutti i polinomi e dovrò considerarlo con l’esponente più grande, cioè 2.Dovrò tuttavia considerare anche i termini (x+4) e (x-2) anche se non sono in comune a tutti i termini

Quindi:

Mcm= (x+4)(x-2)(x+2)^2


Esercizi sulle scomposizioni

Category : Varie

Prima di leggere la parte dedicata agli esercizi è consigliabile leggere la sezione di teoria

Una delle più grande difficoltà nel processo di fattorizzazione è capire quale scomposizione utilizzare nei diversi casi. Tentiamo tuttavia di dare una linea guida che può essere seguita nella maggior parte dei casi che troveremo davanti.

Di fronte ad un polinomio possiamo porci in ordine le seguenti domande:

1) Posso fare il raccoglimento totale?

Posso fare il raccoglimento totale solo se tutti i monomi hanno lo stesso termine in comune.

2) Se non posso fare il raccoglimento totale posso fare il raccoglimento parziale?

Posso fare il raccoglimento parziale solo se il numero di monomi è pari e posso fare il raccoglimento totale a coppie o a terzetti di monomi.

3) Se non posso fare il raccoglimento parziale il polinomio è forse un prodotto notevole?

Posso capire se il polinomio è un prodotto notevole dall’analisi dei monomi che lo compongono:

a)quadrato di binomio : se ho tre monomi di cui due sono quadrati e uno è il doppio prodotto
b) Somma per differenza: se ho due monomi che si presentano sotto forma di differenza di quadrati
c)cubo di binomio: se ho quattro termini di cui due sono cubi e tre sono tripli prodotti
d)quadrato di trinomio: se ho sei termini di cui tre sono quadrati e tre sono doppi prodotti
e) somma o differenza di cubi: se ho due monomi che si presentano sotto forma di differenza tra due cubi

4) Se non è un prodotto notevole è forse un trinomio caratteristico?

Il polinomio può essere un trinomio caratteristico se ho un trinomio che non è un quadrato di binomio. Osserviamo tuttavia che anche il quadrato di binomio non è nient’altro che un trinomio caratteristico.
N.B. Non è detto che un trinomio possa scomporsi necessariamente con la regola vista per il trinomio caratteristico. Un trinomio può essere anche non-scomponibile se non è un quadrato.

5) Infine se non posso utilizzare nulla di quanto visto in precedenza, posso utilizzare la regola di Ruffini?

Esercizio 1

Scomponiamo

3ax-3bx-6ay+6by

Mi chiedo innanzitutto se posso operare il raccoglimento totale.
La risposta è SI poiché tutti i termini hanno in comune il 3.
Quindi:

3(ax-bx-2ay+2by)

A questo punto mi chiedo se posso utilizzare il raccoglimento parziale.
Dato che i monomi sono quattro possiamo provare a vedere cosa succede se raccolgo i monomi a coppie.
Se per esempio raccolgo x dai primi due termini e -2y dal terzo e il quarto ottengo:

3[x(a-b)-2y(a-b)]= 3[(a-b)(x-2y)]

Ho quindi fattorizzato il mio polinomio.

Esercizio 2

3x^4-12ax^2+12a^2

Anche in questo caso posso operare il raccoglimento totale del valore 3 ottenendo:

3(x^4-4ax^2+4a^2)

Poiché sono in presenza di un trinomio non posso operare il raccoglimento parziale.
Posso quindi chiedermi se sono in presenza di un quadrato di binomio o di un trinomio caratteristico.
Poiché ho due quadrati posso ipotizzare di avere a che fare con un quadrato di binomio: i termini x^4 e 4a^2
sono infatti i quadrati di x^2 e di 2a ed inoltre il termine -4ax^2 è il doppio prodotto tra i due.
Pertanto:

3(x^4-4ax^2+4a^2)= 3(x^2-2a)^2

Esercizio 3

Prendiamo ora in esame il polinomio

a^4-5a^2+4

Scartiamo la possibilità di utilizzare sia il raccoglimento totale che quello parziale. Essendo un trinomio possiamo chiederci se è un quadrato di binomio oppure un trinomio caratteristico.
In effetti esistono due termini al quadrato che sono a^4=(a^2)^2 e 4= 2^2. Tuttavia il termine -5a^2 non può essere il doppio prodotto tra a^2 e 2 che invece sarebbe 4a^2.

Ci possiamo quindi chiedere se è un trinomio caratteristico. Dobbiamo quindi trovare due numeri che come somma hanno -5 e come prodotto +4. Questi due numeri sono chiaramente -1 e -4.

Pertanto possiamo scrivere:

(a^2-1)\cdot(a^2-4)

Entrambi i binomi sono chiaramente delle somme per differenze. Quindi possiamo scomporre:

(a-1)\cdot(a+1)\cdot(a-2)\cdot(a+2)

Esercizio 4

Prendiamo in esame il polinomio:

\frac{1}{3}x^2- \frac{2}{9}xy+\frac{1}{27}y^2

Posso innanzitutto utilizzare il raccoglimento totale del fattore \frac{1}{3}

da cui:

\frac{1}{3}x^2- \frac{2}{9}xy+\frac{1}{27}y^2 = \frac{1}{3}(x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^2)

il trinomio tra parentesi è chiaramente un quadrato di binomio quindi:

\frac{1}{3}(x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^2)= \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}y)^2

Esercizio 5

Prendiamo in considerazione il polinomio:

(2a+3b)^2-(4a+6b)(a+b)

Potremmo pensare di svolgere il quadrato e la moltiplicazione e poi verificare se è possibile fare dei raccoglimenti. In realtà però è più semplice fare un’altra cosa.
Se infatti dalla prima parentesi del secondo termine raccogliessimo il 2 otterremmo:

(2a+3b)^2-(4a+6b)(a+b)= (2a+3b)^2-2(2a+3b)(a+b)

a questo punto osserviamo che il termine (2a+3b) è in comune ai due termini perciò posso raccoglierlo:

(2a+3b)^2-2(2a+3b)(a+b)= (2a+3b)[(2a+3b)-(a+b)]

da cui:

(2a+3b)[2a+3b-a-b]= (2a+3b)(a+2b)


Esercizi sul calcolo tra monomi- Espressioni

Prima di svolgere la sezione di esercizi è consigliabile leggere la sezione teoria

Esercizio 1

Si risolva l’espressione:

[a^2b-(-2a^2b)]\cdot(-3ab^2)+(-2a^2b^2):\frac{1}{2}ab

1° passaggio: faccio il quadrato e tolgo la prima parentesi tonda cambiando di segno.

[a^2b +2a^2b]\cdot(-3ab^2)+4a^4b^4:\frac{1}{2}ab

Ricordiamo in questo passaggio che il quadrato di un termine negativo è un termine positivo quindi il termine -2 diventerà +4. Applichiamo inoltre la proprietà delle potenze.

2° passaggio: eseguo la somma nella parentesi quadrata e faccio la divisione.

La somma nella prima parentesi può essere eseguita perché i due monomi sono simili. Avremo quindi:

[3a^2b]\cdot(-3ab^2)+8a^3b^3

La divisione ha dato luogo a:

4a^4b^4:\frac{1}{2}ab = (4\cdot 2 )\cdot(a^{4-1})\cdot(b^{4-1})= 8a^3b^3

3° passaggio: eseguiamo la moltiplicazione rimasta ed infine la somma

[3a^2b]\cdot(-3ab^2)+8a^3b^3 = -9a^3b^3+8a^3b^3= -a^3b^3

Esercizio 2

[(x^3y^3)^3+(-\frac{2}{7}x^2y^2)^3\cdot(-\frac{7}{2}xy)^3]:(-2x^2y^2)^3+\frac{3}{2}x^3y^3=

[x^9y^9-\frac{8}{539}x^6y^6\cdot(-\frac{539}{8}x^3y^3)]:(-8x^6y^6)+\frac{3}{2}x^3y^3=

[x^9y^9+x^9y^9]:(-8x^6y^6)+\frac{3}{2}x^3y^3=

(2x^9y^9):(-8x^6y^6)+\frac{3}{2}x^3y^3=

\frac{1}{4}x^3y^3 +\frac{3}{2}x^3y^3=\frac{5}{4}x^3y^3

Esercizio 3

(-\frac{3}{2}ax^2y)^2:\Bigl\{(-\frac{2}{5}a^2b):(\frac{1}{5}ab)-[-6a^3b^3:(-b)^2]:(3a^2b)\Bigr\}

\frac{9}{4}a^2x^4y^2:\Bigl\{-2a -[-6a^3b^3:b^2]:(3a^2b)\Bigr\}

\frac{9}{4}a^2x^4y^2:\Bigl\{-2a -[-6a^3b]:(3a^2b)\Bigr\}

\frac{9}{4}a^2x^4y^2:\Bigl\{-2a +2a\Bigr\}

\frac{9}{4}a^2x^4y^2:\Bigl\{0\Bigr\}

che risulta ovviamente impossibile poichè non si può dividere un numero per zero.


Scomposizioni o fattorizzazione

Scomporre un polinomio significa scrivere quel polinomio come prodotto di fattori. Diremo quindi che opereremo una fattorizzazione del polinomio. Fattorizzare un polinomio risulterà particolarmente utile nello studio delle frazioni algebriche nonché quando dovremo trovare velocemente le soluzioni delle equazioni e delle disequazioni di secondo grado o di grado superiore.

1) Raccoglimento a fattor comune totale

Il raccoglimento a fattor comune totale ci consente di mettere in evidenza quella parte in comune a tutti i monomi che compongono il polinomio. Tale parte in comune risulterà essere il Massimo Comun Divisore tra i monomi.
Prendiamo ad esempio il polinomio:

4x^3-2x^2+2x

Si osserva che il Massimo Comun Divisore tra tutti i monomi è 2x.
A questo punto isolo il termine 2x e scrivo tra parentesi i termini che rimangono dalla divisione tra ogni singolo monomio del polinomio e il termine 2x.

Pertanto, se divido ogni termine per 2x, ottengo:

\frac{4x^3}{2x}=2x^2

\frac{-2x^2}{2x}= -x

\frac{+2x}{2x}=1

Pertanto otterremo:

2x(2x^2-x+1)

Ho quindi scritto il polinomio come prodotto di un monomio e di un polinomio. Il polinomio tra parentesi potrà eventualmente essere scomposto ulteriormente oppure no.

Esercizi

2) Raccoglimento a fattor parziale

Possiamo utilizzare la scomposizione a fattor parziale SOLO se il numero di monomi che compongono il polinomio è pari cioè 4 o 6 o 8 etc etc
Quello che facciamo è considerare i monomi a coppie o a terzetti ed operare su di essi il raccoglimento a fattor totale.
Facciamo un esempio:

a-3ax+x-3x^2

Possiamo considerare diverse coppie di monomi senza che il risultato cambi.
Per esempio possiamo decidere di raggruppare i primi due termini e poi il terzo e il quarto tra loro.

Per i primi due termini possiamo raccogliere la a ottenendo:

a-3ax = a(1-3x)

Il terzo ed il quarto termine hanno in comune il termine x quindi:

x-3x^2= x(1-3x)

A questo punto osserviamo come il termine (1-3x) sia in comune ad entrambi i raccoglimenti. Possiamo quindi operare l’ulteriore raccoglimento proprio del termine (1-3x).

Avremo quindi:

a(1-3x)+x(1-3x)= (1-3x)(a+x)

Come accennato si osserva che sarebbe stato possibile anche scegliere un’altra combinazione per il raggruppamento.
Per esempio raggruppando il primo con il terzo e il secondo con il quarto avremmo ottenuto:

a+x= 1(a+x)

se infatti i termini sembrano non avere nulla in comune è sempre possibile raccogliere 1
Per il secondo raggruppamento invece:

-3ax-3x^2=-3x(a+x)

Pertanto avremo

1(a+x)-3x(a+x) = (a+x)(1-3x)

N.B. In sostanza affinché sia possibile eseguire il raccoglimento parziale è necessario che i termini dentro le parentesi dopo i raggruppamenti siano identici. In caso contrario devo operare un’altra scomposizione oppure non ne posso operare nessuna.

Esercizi

3) Raccoglimento di prodotti notevoli

Nel caso di prodotti notevoli il processo di fattorizzazione consiste nel fare l’operazione inversa rispetto a quella di sviluppo. In questa fase quindi è necessario acquisire esperienza nel riconoscimento dei diversi tipi di prodotti notevoli e poi verificare se l’ipotesi iniziale è quella corretta.

a) Somma per differenza

Ogni volta che ci troviamo in presenza di una differenza tra quadrati possiamo utilizzare la somma per differenza ricordando che :

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

Si ha quindi, per esempio:

(4x^2-9)= (2x+3)(2x-3)

Il termine 4x^2 infatti è il quadrato di 2x mentre il termine 9 è il quadrato di 3. Tra i due c’è un segno negativo. Siamo quindi in presenza di una somma per differenza.

b)Quadrato di binomio

Ricordiamo la formula del quadrato di binomio:

(A+B)^2= A^2+2AB+B^2

Per riconoscere il quadrato del binomio dobbiamo quindi porre attenzione a due cose:

1) la presenza di due quadrati
2) la presenza di un doppio prodotto

Prendiamo per esempio:

(9x^2-6x+1)

Poniamo l’attenzione sul fatto che ci sono due quadrati.
Infatti:

9x^2= (3x)^2
1^2= 1

Adesso dobbiamo chiederci se il termine -6x potrebbe essere effettivamente il doppio prodotto tra 3x ed 1.
In effetti potrebbe esserlo purché uno dei due monomi sia negativo.
Pertanto possiamo scrivere:

(9x^2-6x+1)= (3x-1)^2

Esercizi

c)Cubo di binomio

Ricordiamo anche per il cubo la formula:

(A+B)^3= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Il riconoscimento del cubo del binomio è un pò più complesso di quello degli altri prodotti notevoli. Possiamo comunque porre attenzione:

1) alla presenza di due cubi
2) alla presenza di due tripli prodotti
3) alla presenza di segni alternati o no

Prendiamo per esempio il polinomio:

54x-27-36x^2+8x^3

N.B. Non è detto che il polinomio si presenti in forma ordinata, ma i termini possono essere messi in un ordine diverso rispetto a quello della formula. La cosa non rappresenta un problema poiché, volendo, si può operare un primo passaggio per riordinare i termini.

Osserviamo quindi che sono presenti i cubi di due termini. Infatti:

8x^3=(2x)^3

-27= (-3)^3

Ricordando che il cubo di un termine può essere anche negativo.
Osserviamo inoltre una alternanza di segni, cioè sono presenti due segni positivi e due negativi.
Il binomio di cui dobbiamo fare il cubo potrebbe quindi essere:

2x-3

Dobbiamo ora chiederci se i termini restanti sono effettivamente i tripli prodotti.
Poiché infatti:

54x^2= 3(2x)(-3)^2

-36x= 3(2x)^2(-3)

possiamo affermare con certezza che si tratta del cubo del binomio, ovvero:

(2x-3)^3

Esercizi

d) Somma e Differenza di cubi

Si presentano nella forma

(A^3+B^3)
(A^3-B^3)

Il loro sviluppo può essere scritto in questo modo:

(A^3+B^3)= (A+B)(A^2-AB+B^2)
(A^3-B^3)= (A-B)(A^2+AB+B^2)

N.B. I termini che compaiono nella seconda parentesi NON SONO i termini di un quadrato di binomio in quanto non compare il doppio prodotto ma solo il prodotto AB.

Facciamo un esempio:

8x^3-1

osserviamo che

8x^3= (2x)^3
-1= (-1)^3

Pertanto sono in presenza di una differenza di cubi. Avremo quindi:

8x^3-1= (2x-1)(4x^2+2x+1)

4) Trinomio caratteristico (o speciale)

Il trinomio caratteristico è un particolare trinomio che si presenta nella forma:

ax^2+sx+p

dove a,s e p sono costanti

N.B. Tale concetto verrà poi ripreso nelle equazioni di secondo grado

Esistono due tipologie di trinomio caratteristico:

1) a=1

in questo caso ci dobbiamo chiedere se esistono due numeri la cui somma sia uguale ad s e il cui prodotto sia uguale a p. Se questi numeri esistono possiamo procedere altrimenti vuol dire che non possiamo utilizzare la scomposizione con il trinomio caratteristico.

facciamo un esempio:

x^2-5x+6

Notiamo subito che a=1

Ora ci dobbiamo chiedere se esistono due numeri la cui somma faccia -5 e il cui prodotto faccia +6

s=-5

p=+6

per capire se esistono questi numeri posso partire dal prodotto e considerare tutte le coppie di numeri che moltiplicate tra loro fanno 6 ( senza in questa fase interessarmi del segno).

Le coppie di numeri che danno luogo a 6 se moltiplicate tra loro sono chiaramente

1*6
2*3

Ora devo interrogarmi sul segno di questi numeri.
Poiché il prodotto deve essere uguale a +6 i due numeri dovranno essere entrambi positivi o entrambi negativi( altrimenti la moltiplicazione darebbe un numero negativo).

Per capire se sono entrambi positivi o negativi guardo la somma. Poiché la somma s è uguale a -5 i due termini dovranno essere entrambi negativi.
Infine quindi mi chiedo quale coppia di numeri negativi dà luogo al valore -5.

La risposta è chiaramente -2 e -3.

una volta trovati questi numeri possiamo scrivere il nostro polinomio nella forma:

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Ricapitolando

a) Cerchiamo le coppie di numeri che moltiplicati tra loro danno luogo ad un numero pari a p
b) Capiamo dal segno di p se tale coppia avrà lo stesso segno o segni diversi
c) Nel caso in cui i segni siano concordi dal segno della somma capiamo se questi sono positivi o negativi
d) nel caso in cui i segni siano discordi dal segno della somma capiamo quale segno dovrà avere il numero più grande dei due ( se la somma è positiva esso sarà positivo e viceversa)
e) Dal valore della somma capiamo quale coppia di numeri scegliere.

2) a\neq 1

Il concetto di base è lo stesso visto in precedenza, cioè trovare una coppia di numeri che come somma da s e come prodotto p. Tuttavia in questo caso ricercare il prodotto p sarà leggermente diverso.

Prendiamo ad esempio il polinomio:

2x^2+7x+3

Notiamo subito che a=2 quindi non possiamo procedere come nel caso precedente.

In questo caso devo trovare due numeri, se esistono, che avranno:

s=+7
P=p*a=3*2

Il prodotto quindi non sarà uguale a +3 ma sarà la moltiplicazione tra p ed a ovvero risulterà 6.

A questo punto posso procedere come prima.

I numeri cercati saranno quindi +6 e +1. Infatti la loro somma dà luogo a +7 mentre il loro prodotto è appunto +6.

A che scopo fare ciò?

Una volta trovati questi due numeri li utilizzo per riscrivere il termine +7x come somma di tali numeri. Ovvero:

+7x= 6x+1x

In tal modo il mio polinomio diventa:

2x^2+7x+3 = 2x^2+6x+x+3

Ciò mi consente adesso di operare il raccoglimento parziale visto all’inizio.

Quindi, raccogliendo 2x dai primi due membri e 1 dal terzo e quarto, otteniamo:

2x(x+3)+1(x+3) = (x+3)(2x+1)

N.B. Questo procedimento è comodo se i numeri che formano la somma e il prodotto del trinomio sono numeri interi. Se questo non dovesse accadere la scomposizione risulta molto complessa e sarà bene affrontarla in altro modo.
Esercizi


Calcolo letterale con monomi

Un monomio è un termine caratterizzato da una parte numerica e da una parte letterale.

Prendiamo ad esempio il termine:

-2a^2

la parte numerica è -2
la parte letterale è a^2
tra le due parti è sottintesa la moltiplicazione

a) Somma o differenza di monomi

Possiamo sommare o sottrarre due o più monomi tra loro SOLO E SOLTANTO SE i monomi sono simili ovvero se hanno la medesima parte letterale.

Possiamo quindi sommare tra di loro :

5ab^3-8ab^3

ma non possiamo sommare, per esempio le quantità:

8a^3+5a^2x

in quanto il primo monomio ha una parte letterale pari ad a^3 mentre il secondo monomio ha una parte letterale uguale ad a^2x quindi i due monomi non sono simili

Come si esegue la somma o la sottrazione?

E’ semplice in realtà. Basta eseguire l’operazione di somma o sottrazione tra le parti numeriche dei singoli monomi e lasciare inalterata la parte letterale.

Quindi avremo per esempio:

-4x^2y+8x^2y = (-4+8)x^2y= 4x^2y

N.B Non svolgo nessuna operazione sulla parte letterale che rimane inalterata.

Esercizi

b) Moltiplicazione tra monomi

Possiamo SEMPRE moltiplicare due monomi tra di loro.
Per eseguire la moltiplicazione basta moltiplicare le parti numeriche e le parti letterali tra loro rispettivamente. Nel moltiplicare le parti letterali ricorreremo dove necessario alle proprietà delle potenze e sommeremo gli esponenti delle lettere rispettivamente uguali.

Come si esegue la moltiplicazione tra monomi?

Prendiamo la quantità:

(-2ab^2c^3)(3a^2b)

otteniamo:

(-2ab^2c^3)(3a^2b)= [(-2)(3)][(ab^2c^3)(a^2b)]= -6a^3b^3c^3

Facciamo un esempio con parte numerica frazionaria:

(\frac{3}{2}x^2y^3)(\frac{4}{3}xyz)= [(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})][(x^2y^3)(xyz)]= 2x^3y^4z

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c) Divisione tra monomi

Possiamo SEMPRE dividere due monomi tra di loro.
Per eseguire la divisione possiamo ragionare come con la moltiplicazione tuttavia bisognerà sottrarre gli esponenti delle lettere uguali rispettivamente.

Come si esegue la divisione tra monomi?

Prendiamo per esempio:

(\frac{1}{3}x^3yz^2):(\frac{3}{4}xy^3z)= [(\frac{1}{3}:\frac{3}{4})][(x^3yz^2)(xy^3z)]= \frac{4}{9}x^2y^{-2}z

N.B. l’esponente negativo significa che il termine y^2 può essere scritto al denominatore.

Esercizi


Esercizi sui prodotti notevoli

Prima di leggere la parte dedicata agli esercizi è consigliabile leggere la sezione teoria

Risolviamo ora una serie di esercizi sui prodotti notevoli.

1) Somma per differenza o differenza di quadrati

Ricordiamo che la regola pratica per risolvere la somma per differenza è fare il quadrato del primo termine e sottrarlo al quadrato del secondo termine

a) (2x+1)(2x-1)=(2x)^2- (1)^2 = 4x^2-1

b) (-5x+3)(5x+3) = (3-5x)(3+5x)= (3)^2-(5x)^2= 9-25x^2

c) (\frac{3}{2}x -1)= (\frac{3}{2}x)^2-(1)^2= \frac{9}{4}x^2-1

d) (3-\frac{2}{5}x)= 3^2-(\frac{2}{5}x)^2= 9-\frac{4}{25}x^2

2) Quadrato di binomio

Ricordiamo che la regola pratica per svolgere il quadrato è fare il quadrato del primo termine sommarlo al quadrato del secondo termine e infine aggiungere il doppio prodotto del primo termine per il secondo

a) (3x+1)^2= (3x)^2+2(3x)(1)+(1)^2= 9x^2+6x+1

b) (-x+3)^2= (-x)^2+2(-x)(3)+(3)^2= x^2-6x+9

c) (\frac{2}{3}x -3)^2=(\frac{2}{3}x)^2 +2(\frac{2}{3}x)(-3)+(3)^2=\frac{4}{9}x^2-4x+9

d) (-2-\frac{1}{3}x)^2= (-2)^2+2(-2)(-\frac{1}{3}x)^2+(\frac{1}{3}x)^2= 4+\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}x^2

3)Cubo di binomio

Ricordiamo che la regola pratica per risolvere il cubo è fare il cubo del primo termine, aggiungere il cubo del secondo e poi i tripli prodotti del primo per il quadrato del secondo e del secondo per il quadrato del primo.

a) (2x+1)^3= (2x)^3+3(2x)^2(1)+3(2x)(1)^2+(1)^3+(1)^2= 8x^3+12x^2+6x+3

b) (-x+2)^3= (-x)^3+3(-x)^2(2)+3(-x)(2)^2+(2)^3= -x^3+12x^2-12x+8

c) (\frac{1}{2}x -2)^3=(\frac{1}{2}x)^3 +3(\frac{1}{2}x)^2(-2)+3(\frac{1}{2}x)(-2)^2+(-2)^3=\frac{1}{8}x^3 -\frac{3}{2}x^2+6x-8

d) (-\frac{2}{3}x -3)^3=-\frac{8}{27}x^3 -4x^2-18x-27

4)Quadrato di trinomio

Ricordiamo che per sviluppare il quadrato del trinomio occorre fare i quadrati dei tre monomi e poi aggiungere i doppi prodotti di tutte le coppie di monomi possibili.

a)

(y-2x+2)^3= y^2 +(-2x)^2+2^2+2(y)(-2x)+2(y)(2)+2(-2x)(2)=y^2+4x^2+4-4xy+4y-8x

b)

(2z+4x-1)^3= (2z)^2 +(4x)^2+(-1)^2+2(2z)(4x)+2(2z)(-1)+2(4x)(-1)=4z^2+16x^2+1-16xz-4z-8x


Prodotti Notevoli

I prodotti notevoli sono delle formule che ci consentono di trovare delle scorciatoie per il calcolo della moltiplicazione tra alcuni polinomi e del loro elevamento a potenza.

1) Somma per differenza o differenza di quadrati

La somma per differenza si presenta nella forma

(A+B)(A-B)

Se svolgessimo i calcoli con la normale moltiplicazione tra polinomi otterremmo

A^2-AB+AB+B^2

da cui, eliminando i termini opposti, otteniamo

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

Una regola pratica per svolgere velocemente la somma per differenza è fare il quadrato del primo termine e sottrarre il quadrato del secondo.

Esercizi

2) Quadrato del binomio

Si presenta nella forma:

(A+B)^2 oppure (A-B)^2

Se scrivessimo la potenza in forma estesa potremmo scrivere (A+B)(A+B)

da cui eseguendo le moltiplicazioni:

(A+B)(A+B) = A^2+AB+AB+B^2 = A^2+ 2AB+B^2

si osserva quindi che il quadrato del binomio è composto dai quadrati dei due termini tra parentesi e dal doppio prodotto di questi due ( cioè il primo per il secondo per 2)
N.B. Se tra i due termini compare il segno negativo anziché quello positivo, il doppio prodotto è negativo anch’esso.

Pertanto

(A+B)^2= A^2+2AB+B^2
(A-B)^2= A^2-2AB-B^2

Esercizi

3) Cubo del binomio

Si presenta nella forma

(A+B)^3

Scritto in forma estesa otterremmo

(A+B)(A+B)(A+B)=(A^2+AB+AB+B^2)(A+B)=  (A^3+A^2B+A^2B+AB^2+A^2B+AB^2+AB^2+B^3)=(A^3+3A^2B+3AB^2+B^3)

Il cubo del binomio quindi è composto dal cubo dei due termini e dai tripli prodotti del quadrato del primo per il secondo e del quadrato del secondo per il primo.
N.B. Se uno dei due termini è negativo dobbiamo ricordarci che solo due termini su quattro saranno positivi. Infatti i cubo di un numero negativo è ancora un numero negativo ed inoltre anche uno dei tripli prodotti sarà negativo.

Pertanto

(A+B)^3= (A^3+3A^2B+3AB^2+B^3)
(A-B)^3= (A^3-3A^2B+3AB^2-B^3)

Esercizi

4) Quadrato del trinomio

Si presenta nella forma

(A+B+C)^2

Anche qui svolgiamo in i calcoli in forma estesa:

(A+B+C)(A+B+C)= A^2+AB+AC+AB+B^2+BC+AC+CB+C^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC

Il quadrato del trinomio è quindi formato dai quadrati dei tre monomi e da tutti i doppi prodotti tra i monomi presi a coppie. E’ chiaro che se i monomi all’interno delle parentesi sono negativi i doppi prodotti potranno essere anch’essi negativi.

Pertanto

(A+B+C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC
(A-B+C)^2= A^2+B^2+C^2-2AB-2BC+2AC
(A+B-C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB-2BC-2AC
(A-B-C)^2= A^2+B^2+C^2-2AB-2BC-2AC

Esercizi


Esercizi su equazioni di primo grado intere

Proviamo ora a risolvere alcuni esercizi sulle equazioni di primo grado intere.

Esercizio 1

3(2x-1)+(2x-7)=3(x+1)-(-3x-1)+3x+2

Per prima cosa svolgiamo le moltiplicazioni ed eliminiamo tutte le parentesi (ricordando che il segno negativo davanti alla parentesi cambia segno a tutti i termini al suo interno). Otteniamo :

6x-3+2x-7=3x+3+3x+1+3x+2

A questo punto possiamo trasportare tutte le x a sinistra dell’uguale e tutti numeri senza x (termini noti) a destra.
Ogni volta che spostiamo un temine da una parte all’altra ne cambiamo il segno
N.B. Nel fare questo passaggio in realtà stiamo utilizzando il primo principio di equivalenza, ma è più comodo, come regola pratica,immaginare di spostare il numero da una parte all’altra dell’uguale cambiandone il segno piuttosto che aggiungere a destra e a sinistra dell’uguale ogni singolo termine che vogliamo eliminare.
Si ottiene quindi:

6x+2x-3x-3x-3x=3+7+3+1+2

Facendo i conti :

-x= 16

da cui, dividendo entrambi i membri per -1 si ottiene x=-16

Esercizio 2: equazioni indeterminate

x(x+7)+9=x+(x+3)^2

Facciamo le moltiplicazioni e sviluppiamo il quadrato del binomio

x^2+7x+9=x+x^2+6x+9

Spostiamo ora a sinistra i termini in x e a destra i termini noti

x^2+7x-x-x^2-6x= -9+9

da cui si ottiene 0=0

Un risultato del genere ci dice che l’equazione è indeterminata ovvero ci dice che qualsiasi valore scelto per la x (nel campo dei numeri reali) esso sarà soluzione dell’equazione proposta.

Esercizio 3: equazioni impossibili

4(x-1)+x(x+3)=x^2-2+3(x-1)-1

da cui:

4x-4+x^2+3x=x^2-2+3x-3-1
4x+x^2+3x-x^2-3x=+4-2-3-1

ovvero:

0x=-2

Tale risultato è chiaramente una proposizione non vera. Un risultato del genere significa che l’equazione è impossibile. Ciò significa che, scelto un qualsiasi valore della x, sostituito nell’equazione darà luogo ad un risultato non vero.

Esercizio 4: equazioni con denominatori interi

\frac{(x-2)(3-x)}{3}+\frac{(4-x)^2}{4}=-\frac{x^2}{12}+ \frac{7}{2}x

Come si osserva l’equazione proposta è formata da quattro frazioni diverse. Tale equazione si affronta calcolando il minimo comune multiplo tra tutti i numeri al denominatore e ponendolo a destra e a sinistra dell’equazione.
Nel caso in esame il m.c.m. è 12

\frac{4(x-2)(3-x)+3(4-x)^2}{12}= \frac{-x^2+42x}{12}

Una volta definito il denominatore comune lo si divide per ciascuno dei singoli denominatori delle varie frazioni ed il risultato lo si moltiplica per il numeratore della stessa.

Svolgendo i conti avremo:

\frac{4(3x-x^2-6+2x)+3(16+x^2-8x)}{12}= \frac{-x^2+42x}{12}

\frac{12x-4x^2-24+8x+48+3x^2-24x}{12}= \frac{-x^2+42x}{12}

a questo punto possiamo moltiplicare a destra e a sinistra per 12 ed eliminare i denominatori.

12x-4x^2-24+8x+48+3x^2-24x= -x^2+42x
12x-4x^2+x^2+8x+48+3x^2-24x-42x=+24-48
12x+8x-24x-42x=+24-48
-46x=-24
x=\frac{-24}{-46}

x=\frac{12}{23}


Equazioni di primo grado intere

Che cosa vuol dire risolvere un’equazione?
Risolvere un’equazione, in generale, significa trovare quei valori della nostra incognita x che “verificano” l’equazione ovvero che sostituiti all’interno dell’equazione iniziale al posto della x, mi consentono di ottenere una identità, cioè una proposizione sempre vera.
Le equazioni di primo grado possono essere intere o fratte. Le equazioni fratte si distinguono dalle intere per la presenza dell’incognita x al denominatore.

Come si risolve un’equazione di primo grado intera?

Per risolvere le equazioni di primo grado intere dobbiamo tener presente due principi fondamentali:

  • Primo principio di equivalenza : sommando o sottraendo a destra e a sinistra di un’equazione lo stesso termine, si ottiene una equazione equivalente.
  • Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo a destra e a sinistra di una equazione lo lo stesso termine, si ottiene una equazione equivalente
  • Tenendo presente questi due principi possiamo risolvere la seguente equazione:

    2x-3=0

    Per il primo principio di equivalenza posso sommare +3 a destra e a sinistra dell’equazione:

    2x-3+3=0+3

    in questo modo posso eliminare il -3 a sinistra. Si ottiene quindi:

    2x= 3

    A questo punto, per il secondo principio di equivalenza, posso dividere a destra e a sinistra per 2, ottenendo così il valore della x

    \frac{2x}{2}= \frac{3}{2}

    da cui si ricava

    x=\frac{3}{2}

    Come anticipato il valore della x così ottenuto è l’unico valore che, sostituito all’interno dell’equazione iniziale al posto della x, mi consente di ottenere una identità

    Infatti sostituendo \frac{3}{2} al posto della x si ottiene

    2(\frac{3}{2})-3=0

    ovvero 0=0 che è una espressione ovviamente vera

    Per ulteriori chiarimenti è consigliabile leggere il post dedicato Esercizi sulle equazioni di primo grado intere


    Che cos’è l’inglese funzionale?

    Category : Inglese , News

    L’inglese funzionale è lo studio della lingua finalizzato allo svolgimento di determinate funzioni o per lavorare in settori specifici.

    Per esempio, una persona che lavora in un ristorante seguendo un corso di “functional English”, apprenderà principalmente termini tecnici e dialoghi relativi alla gestione dell’attività, così come le lezioni per chi deve recarsi in un paese in vacanza saranno orientate verso la comunicazione delle necessità basilari: muoversi per la città, ordinare al ristorante, prenotare…

    Le lezioni possono essere individuali o di gruppo, comportano simulazioni, esercitazioni e uno studio della grammatica e dei lessemi specifici del paese dove si è diretti ( American o British English, International English…).

    Gli insegnanti, oltre ad avere piena padronanza della lingua dovute allo studio e a lunghi soggiorni all’estero dove hanno maturato importanti esperienze lavorative si aggiornano costantemente e adattano lezioni e corsi alle esigenze specifiche del gruppo e degli individui.

    I nostri soci potranno imparare l’inglese partecipando ai nostri eventi “aperitivi in lingua inglese” a tema oppure seguendo lezioni private singole o di gruppo.

    Il primo evento si svolgerà giovedì 23 giugno alle ore 19:00 presso la nostra sede di Via Marco Besso 22. L’evento sarà gratuito per tutti i soci.