Esercizi sulle scomposizioni

November 8, 2017
asdcnoproblem
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Category : Varie

Prima di leggere la parte dedicata agli esercizi è consigliabile leggere la sezione di teoria

Una delle più grande difficoltà nel processo di fattorizzazione è capire quale scomposizione utilizzare nei diversi casi. Tentiamo tuttavia di dare una linea guida che può essere seguita nella maggior parte dei casi che troveremo davanti.

Di fronte ad un polinomio possiamo porci in ordine le seguenti domande:

1) Posso fare il raccoglimento totale?

Posso fare il raccoglimento totale solo se tutti i monomi hanno lo stesso termine in comune.

2) Se non posso fare il raccoglimento totale posso fare il raccoglimento parziale?

Posso fare il raccoglimento parziale solo se il numero di monomi è pari e posso fare il raccoglimento totale a coppie o a terzetti di monomi.

3) Se non posso fare il raccoglimento parziale il polinomio è forse un prodotto notevole?

Posso capire se il polinomio è un prodotto notevole dall’analisi dei monomi che lo compongono:

a)quadrato di binomio : se ho tre monomi di cui due sono quadrati e uno è il doppio prodotto
b) Somma per differenza: se ho due monomi che si presentano sotto forma di differenza di quadrati
c)cubo di binomio: se ho quattro termini di cui due sono cubi e tre sono tripli prodotti
d)quadrato di trinomio: se ho sei termini di cui tre sono quadrati e tre sono doppi prodotti
e) somma o differenza di cubi: se ho due monomi che si presentano sotto forma di differenza tra due cubi

4) Se non è un prodotto notevole è forse un trinomio caratteristico?

Il polinomio può essere un trinomio caratteristico se ho un trinomio che non è un quadrato di binomio. Osserviamo tuttavia che anche il quadrato di binomio non è nient’altro che un trinomio caratteristico.
N.B. Non è detto che un trinomio possa scomporsi necessariamente con la regola vista per il trinomio caratteristico. Un trinomio può essere anche non-scomponibile se non è un quadrato.

5) Infine se non posso utilizzare nulla di quanto visto in precedenza, posso utilizzare la regola di Ruffini?

Esercizio 1

Scomponiamo

$3ax-3bx-6ay+6by$

Mi chiedo innanzitutto se posso operare il raccoglimento totale.
La risposta è SI poiché tutti i termini hanno in comune il 3.
Quindi:

$3(ax-bx-2ay+2by)$

A questo punto mi chiedo se posso utilizzare il raccoglimento parziale.
Dato che i monomi sono quattro possiamo provare a vedere cosa succede se raccolgo i monomi a coppie.
Se per esempio raccolgo $x$ dai primi due termini e $-2y$ dal terzo e il quarto ottengo:

$3[x(a-b)-2y(a-b)]= 3[(a-b)(x-2y)]$

Ho quindi fattorizzato il mio polinomio.

Esercizio 2

$3x^4-12ax^2+12a^2$

Anche in questo caso posso operare il raccoglimento totale del valore 3 ottenendo:

$3(x^4-4ax^2+4a^2)$

Poiché sono in presenza di un trinomio non posso operare il raccoglimento parziale.
Posso quindi chiedermi se sono in presenza di un quadrato di binomio o di un trinomio caratteristico.
Poiché ho due quadrati posso ipotizzare di avere a che fare con un quadrato di binomio: i termini $x^4$ e $4a^2$
sono infatti i quadrati di $x^2$ e di $2a$ ed inoltre il termine $-4ax^2$ è il doppio prodotto tra i due.
Pertanto:

$3(x^4-4ax^2+4a^2)= 3(x^2-2a)^2$

Esercizio 3

Prendiamo ora in esame il polinomio

$a^4-5a^2+4$

Scartiamo la possibilità di utilizzare sia il raccoglimento totale che quello parziale. Essendo un trinomio possiamo chiederci se è un quadrato di binomio oppure un trinomio caratteristico.
In effetti esistono due termini al quadrato che sono $a^4=(a^2)^2$ e $4= 2^2$ . Tuttavia il termine $-5a^2$ non può essere il doppio prodotto tra $a^2$ e $2$ che invece sarebbe $4a^2$ .

Ci possiamo quindi chiedere se è un trinomio caratteristico. Dobbiamo quindi trovare due numeri che come somma hanno -5 e come prodotto +4. Questi due numeri sono chiaramente -1 e -4.

Pertanto possiamo scrivere:

$(a^2-1)\cdot(a^2-4)$

Entrambi i binomi sono chiaramente delle somme per differenze. Quindi possiamo scomporre:

$(a-1)\cdot(a+1)\cdot(a-2)\cdot(a+2)$

Esercizio 4

Prendiamo in esame il polinomio:

$\frac{1}{3}x^2- \frac{2}{9}xy+\frac{1}{27}y^2$

Posso innanzitutto utilizzare il raccoglimento totale del fattore $\frac{1}{3}$

da cui:

$\frac{1}{3}x^2- \frac{2}{9}xy+\frac{1}{27}y^2 = \frac{1}{3}(x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^2)$

il trinomio tra parentesi è chiaramente un quadrato di binomio quindi:

$\frac{1}{3}(x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^2)= \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}y)^2$

Esercizio 5

Prendiamo in considerazione il polinomio:

$(2a+3b)^2-(4a+6b)(a+b)$

Potremmo pensare di svolgere il quadrato e la moltiplicazione e poi verificare se è possibile fare dei raccoglimenti. In realtà però è più semplice fare un’altra cosa.
Se infatti dalla prima parentesi del secondo termine raccogliessimo il 2 otterremmo:

$(2a+3b)^2-(4a+6b)(a+b)= (2a+3b)^2-2(2a+3b)(a+b)$

a questo punto osserviamo che il termine $(2a+3b)$ è in comune ai due termini perciò posso raccoglierlo:

$(2a+3b)^2-2(2a+3b)(a+b)= (2a+3b)[(2a+3b)-(a+b)]$

da cui:

$(2a+3b)[2a+3b-a-b]= (2a+3b)(a+2b)$

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