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Esercizi su equazioni di primo grado intere

Esercizi su equazioni di primo grado intere

Proviamo ora a risolvere alcuni esercizi sulle equazioni di primo grado intere.

Esercizio 1

3(2x-1)+(2x-7)=3(x+1)-(-3x-1)+3x+2

Per prima cosa svolgiamo le moltiplicazioni ed eliminiamo tutte le parentesi (ricordando che il segno negativo davanti alla parentesi cambia segno a tutti i termini al suo interno). Otteniamo :

6x-3+2x-7=3x+3+3x+1+3x+2

A questo punto possiamo trasportare tutte le x a sinistra dell’uguale e tutti numeri senza x (termini noti) a destra.
Ogni volta che spostiamo un temine da una parte all’altra ne cambiamo il segno
N.B. Nel fare questo passaggio in realtà stiamo utilizzando il primo principio di equivalenza, ma è più comodo, come regola pratica,immaginare di spostare il numero da una parte all’altra dell’uguale cambiandone il segno piuttosto che aggiungere a destra e a sinistra dell’uguale ogni singolo termine che vogliamo eliminare.
Si ottiene quindi:

6x+2x-3x-3x-3x=3+7+3+1+2

Facendo i conti :

-x= 16

da cui, dividendo entrambi i membri per -1 si ottiene x=-16

Esercizio 2: equazioni indeterminate

x(x+7)+9=x+(x+3)^2

Facciamo le moltiplicazioni e sviluppiamo il quadrato del binomio

x^2+7x+9=x+x^2+6x+9

Spostiamo ora a sinistra i termini in x e a destra i termini noti

x^2+7x-x-x^2-6x= -9+9

da cui si ottiene 0=0

Un risultato del genere ci dice che l’equazione è indeterminata ovvero ci dice che qualsiasi valore scelto per la x (nel campo dei numeri reali) esso sarà soluzione dell’equazione proposta.

Esercizio 3: equazioni impossibili

4(x-1)+x(x+3)=x^2-2+3(x-1)-1

da cui:

4x-4+x^2+3x=x^2-2+3x-3-1
4x+x^2+3x-x^2-3x=+4-2-3-1

ovvero:

0x=-2

Tale risultato è chiaramente una proposizione non vera. Un risultato del genere significa che l’equazione è impossibile. Ciò significa che, scelto un qualsiasi valore della x, sostituito nell’equazione darà luogo ad un risultato non vero.

Esercizio 4: equazioni con denominatori interi

\frac{(x-2)(3-x)}{3}+\frac{(4-x)^2}{4}=-\frac{x^2}{12}+ \frac{7}{2}x

Come si osserva l’equazione proposta è formata da quattro frazioni diverse. Tale equazione si affronta calcolando il minimo comune multiplo tra tutti i numeri al denominatore e ponendolo a destra e a sinistra dell’equazione.
Nel caso in esame il m.c.m. è 12

\frac{4(x-2)(3-x)+3(4-x)^2}{12}= \frac{-x^2+42x}{12}

Una volta definito il denominatore comune lo si divide per ciascuno dei singoli denominatori delle varie frazioni ed il risultato lo si moltiplica per il numeratore della stessa.

Svolgendo i conti avremo:

\frac{4(3x-x^2-6+2x)+3(16+x^2-8x)}{12}= \frac{-x^2+42x}{12}

\frac{12x-4x^2-24+8x+48+3x^2-24x}{12}= \frac{-x^2+42x}{12}

a questo punto possiamo moltiplicare a destra e a sinistra per 12 ed eliminare i denominatori.

12x-4x^2-24+8x+48+3x^2-24x= -x^2+42x
12x-4x^2+x^2+8x+48+3x^2-24x-42x=+24-48
12x+8x-24x-42x=+24-48
-46x=-24
x=\frac{-24}{-46}

x=\frac{12}{23}


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