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Scomposizioni o fattorizzazione

Scomposizioni o fattorizzazione

Scomporre un polinomio significa scrivere quel polinomio come prodotto di fattori. Diremo quindi che opereremo una fattorizzazione del polinomio. Fattorizzare un polinomio risulterà particolarmente utile nello studio delle frazioni algebriche nonché quando dovremo trovare velocemente le soluzioni delle equazioni e delle disequazioni di secondo grado o di grado superiore.

1) Raccoglimento a fattor comune totale

Il raccoglimento a fattor comune totale ci consente di mettere in evidenza quella parte in comune a tutti i monomi che compongono il polinomio. Tale parte in comune risulterà essere il Massimo Comun Divisore tra i monomi.
Prendiamo ad esempio il polinomio:

4x^3-2x^2+2x

Si osserva che il Massimo Comun Divisore tra tutti i monomi è 2x.
A questo punto isolo il termine 2x e scrivo tra parentesi i termini che rimangono dalla divisione tra ogni singolo monomio del polinomio e il termine 2x.

Pertanto, se divido ogni termine per 2x, ottengo:

\frac{4x^3}{2x}=2x^2

\frac{-2x^2}{2x}= -x

\frac{+2x}{2x}=1

Pertanto otterremo:

2x(2x^2-x+1)

Ho quindi scritto il polinomio come prodotto di un monomio e di un polinomio. Il polinomio tra parentesi potrà eventualmente essere scomposto ulteriormente oppure no.

Esercizi

2) Raccoglimento a fattor parziale

Possiamo utilizzare la scomposizione a fattor parziale SOLO se il numero di monomi che compongono il polinomio è pari cioè 4 o 6 o 8 etc etc
Quello che facciamo è considerare i monomi a coppie o a terzetti ed operare su di essi il raccoglimento a fattor totale.
Facciamo un esempio:

a-3ax+x-3x^2

Possiamo considerare diverse coppie di monomi senza che il risultato cambi.
Per esempio possiamo decidere di raggruppare i primi due termini e poi il terzo e il quarto tra loro.

Per i primi due termini possiamo raccogliere la a ottenendo:

a-3ax = a(1-3x)

Il terzo ed il quarto termine hanno in comune il termine x quindi:

x-3x^2= x(1-3x)

A questo punto osserviamo come il termine (1-3x) sia in comune ad entrambi i raccoglimenti. Possiamo quindi operare l’ulteriore raccoglimento proprio del termine (1-3x).

Avremo quindi:

a(1-3x)+x(1-3x)= (1-3x)(a+x)

Come accennato si osserva che sarebbe stato possibile anche scegliere un’altra combinazione per il raggruppamento.
Per esempio raggruppando il primo con il terzo e il secondo con il quarto avremmo ottenuto:

a+x= 1(a+x)

se infatti i termini sembrano non avere nulla in comune è sempre possibile raccogliere 1
Per il secondo raggruppamento invece:

-3ax-3x^2=-3x(a+x)

Pertanto avremo

1(a+x)-3x(a+x) = (a+x)(1-3x)

N.B. In sostanza affinché sia possibile eseguire il raccoglimento parziale è necessario che i termini dentro le parentesi dopo i raggruppamenti siano identici. In caso contrario devo operare un’altra scomposizione oppure non ne posso operare nessuna.

Esercizi

3) Raccoglimento di prodotti notevoli

Nel caso di prodotti notevoli il processo di fattorizzazione consiste nel fare l’operazione inversa rispetto a quella di sviluppo. In questa fase quindi è necessario acquisire esperienza nel riconoscimento dei diversi tipi di prodotti notevoli e poi verificare se l’ipotesi iniziale è quella corretta.

a) Somma per differenza

Ogni volta che ci troviamo in presenza di una differenza tra quadrati possiamo utilizzare la somma per differenza ricordando che :

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

Si ha quindi, per esempio:

(4x^2-9)= (2x+3)(2x-3)

Il termine 4x^2 infatti è il quadrato di 2x mentre il termine 9 è il quadrato di 3. Tra i due c’è un segno negativo. Siamo quindi in presenza di una somma per differenza.

b)Quadrato di binomio

Ricordiamo la formula del quadrato di binomio:

(A+B)^2= A^2+2AB+B^2

Per riconoscere il quadrato del binomio dobbiamo quindi porre attenzione a due cose:

1) la presenza di due quadrati
2) la presenza di un doppio prodotto

Prendiamo per esempio:

(9x^2-6x+1)

Poniamo l’attenzione sul fatto che ci sono due quadrati.
Infatti:

9x^2= (3x)^2
1^2= 1

Adesso dobbiamo chiederci se il termine -6x potrebbe essere effettivamente il doppio prodotto tra 3x ed 1.
In effetti potrebbe esserlo purché uno dei due monomi sia negativo.
Pertanto possiamo scrivere:

(9x^2-6x+1)= (3x-1)^2

Esercizi

c)Cubo di binomio

Ricordiamo anche per il cubo la formula:

(A+B)^3= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Il riconoscimento del cubo del binomio è un pò più complesso di quello degli altri prodotti notevoli. Possiamo comunque porre attenzione:

1) alla presenza di due cubi
2) alla presenza di due tripli prodotti
3) alla presenza di segni alternati o no

Prendiamo per esempio il polinomio:

54x-27-36x^2+8x^3

N.B. Non è detto che il polinomio si presenti in forma ordinata, ma i termini possono essere messi in un ordine diverso rispetto a quello della formula. La cosa non rappresenta un problema poiché, volendo, si può operare un primo passaggio per riordinare i termini.

Osserviamo quindi che sono presenti i cubi di due termini. Infatti:

8x^3=(2x)^3

-27= (-3)^3

Ricordando che il cubo di un termine può essere anche negativo.
Osserviamo inoltre una alternanza di segni, cioè sono presenti due segni positivi e due negativi.
Il binomio di cui dobbiamo fare il cubo potrebbe quindi essere:

2x-3

Dobbiamo ora chiederci se i termini restanti sono effettivamente i tripli prodotti.
Poiché infatti:

54x^2= 3(2x)(-3)^2

-36x= 3(2x)^2(-3)

possiamo affermare con certezza che si tratta del cubo del binomio, ovvero:

(2x-3)^3

Esercizi

d) Somma e Differenza di cubi

Si presentano nella forma

(A^3+B^3)
(A^3-B^3)

Il loro sviluppo può essere scritto in questo modo:

(A^3+B^3)= (A+B)(A^2-AB+B^2)
(A^3-B^3)= (A-B)(A^2+AB+B^2)

N.B. I termini che compaiono nella seconda parentesi NON SONO i termini di un quadrato di binomio in quanto non compare il doppio prodotto ma solo il prodotto AB.

Facciamo un esempio:

8x^3-1

osserviamo che

8x^3= (2x)^3
-1= (-1)^3

Pertanto sono in presenza di una differenza di cubi. Avremo quindi:

8x^3-1= (2x-1)(4x^2+2x+1)

4) Trinomio caratteristico (o speciale)

Il trinomio caratteristico è un particolare trinomio che si presenta nella forma:

ax^2+sx+p

dove a,s e p sono costanti

N.B. Tale concetto verrà poi ripreso nelle equazioni di secondo grado

Esistono due tipologie di trinomio caratteristico:

1) a=1

in questo caso ci dobbiamo chiedere se esistono due numeri la cui somma sia uguale ad s e il cui prodotto sia uguale a p. Se questi numeri esistono possiamo procedere altrimenti vuol dire che non possiamo utilizzare la scomposizione con il trinomio caratteristico.

facciamo un esempio:

x^2-5x+6

Notiamo subito che a=1

Ora ci dobbiamo chiedere se esistono due numeri la cui somma faccia -5 e il cui prodotto faccia +6

s=-5

p=+6

per capire se esistono questi numeri posso partire dal prodotto e considerare tutte le coppie di numeri che moltiplicate tra loro fanno 6 ( senza in questa fase interessarmi del segno).

Le coppie di numeri che danno luogo a 6 se moltiplicate tra loro sono chiaramente

1*6
2*3

Ora devo interrogarmi sul segno di questi numeri.
Poiché il prodotto deve essere uguale a +6 i due numeri dovranno essere entrambi positivi o entrambi negativi( altrimenti la moltiplicazione darebbe un numero negativo).

Per capire se sono entrambi positivi o negativi guardo la somma. Poiché la somma s è uguale a -5 i due termini dovranno essere entrambi negativi.
Infine quindi mi chiedo quale coppia di numeri negativi dà luogo al valore -5.

La risposta è chiaramente -2 e -3.

una volta trovati questi numeri possiamo scrivere il nostro polinomio nella forma:

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Ricapitolando

a) Cerchiamo le coppie di numeri che moltiplicati tra loro danno luogo ad un numero pari a p
b) Capiamo dal segno di p se tale coppia avrà lo stesso segno o segni diversi
c) Nel caso in cui i segni siano concordi dal segno della somma capiamo se questi sono positivi o negativi
d) nel caso in cui i segni siano discordi dal segno della somma capiamo quale segno dovrà avere il numero più grande dei due ( se la somma è positiva esso sarà positivo e viceversa)
e) Dal valore della somma capiamo quale coppia di numeri scegliere.

2) a\neq 1

Il concetto di base è lo stesso visto in precedenza, cioè trovare una coppia di numeri che come somma da s e come prodotto p. Tuttavia in questo caso ricercare il prodotto p sarà leggermente diverso.

Prendiamo ad esempio il polinomio:

2x^2+7x+3

Notiamo subito che a=2 quindi non possiamo procedere come nel caso precedente.

In questo caso devo trovare due numeri, se esistono, che avranno:

s=+7
P=p*a=3*2

Il prodotto quindi non sarà uguale a +3 ma sarà la moltiplicazione tra p ed a ovvero risulterà 6.

A questo punto posso procedere come prima.

I numeri cercati saranno quindi +6 e +1. Infatti la loro somma dà luogo a +7 mentre il loro prodotto è appunto +6.

A che scopo fare ciò?

Una volta trovati questi due numeri li utilizzo per riscrivere il termine +7x come somma di tali numeri. Ovvero:

+7x= 6x+1x

In tal modo il mio polinomio diventa:

2x^2+7x+3 = 2x^2+6x+x+3

Ciò mi consente adesso di operare il raccoglimento parziale visto all’inizio.

Quindi, raccogliendo 2x dai primi due membri e 1 dal terzo e quarto, otteniamo:

2x(x+3)+1(x+3) = (x+3)(2x+1)

N.B. Questo procedimento è comodo se i numeri che formano la somma e il prodotto del trinomio sono numeri interi. Se questo non dovesse accadere la scomposizione risulta molto complessa e sarà bene affrontarla in altro modo.
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Prodotti Notevoli

I prodotti notevoli sono delle formule che ci consentono di trovare delle scorciatoie per il calcolo della moltiplicazione tra alcuni polinomi e del loro elevamento a potenza.

1) Somma per differenza o differenza di quadrati

La somma per differenza si presenta nella forma

(A+B)(A-B)

Se svolgessimo i calcoli con la normale moltiplicazione tra polinomi otterremmo

A^2-AB+AB+B^2

da cui, eliminando i termini opposti, otteniamo

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

Una regola pratica per svolgere velocemente la somma per differenza è fare il quadrato del primo termine e sottrarre il quadrato del secondo.

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2) Quadrato del binomio

Si presenta nella forma:

(A+B)^2 oppure (A-B)^2

Se scrivessimo la potenza in forma estesa potremmo scrivere (A+B)(A+B)

da cui eseguendo le moltiplicazioni:

(A+B)(A+B) = A^2+AB+AB+B^2 = A^2+ 2AB+B^2

si osserva quindi che il quadrato del binomio è composto dai quadrati dei due termini tra parentesi e dal doppio prodotto di questi due ( cioè il primo per il secondo per 2)
N.B. Se tra i due termini compare il segno negativo anziché quello positivo, il doppio prodotto è negativo anch’esso.

Pertanto

(A+B)^2= A^2+2AB+B^2
(A-B)^2= A^2-2AB-B^2

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3) Cubo del binomio

Si presenta nella forma

(A+B)^3

Scritto in forma estesa otterremmo

(A+B)(A+B)(A+B)=(A^2+AB+AB+B^2)(A+B)=  (A^3+A^2B+A^2B+AB^2+A^2B+AB^2+AB^2+B^3)=(A^3+3A^2B+3AB^2+B^3)

Il cubo del binomio quindi è composto dal cubo dei due termini e dai tripli prodotti del quadrato del primo per il secondo e del quadrato del secondo per il primo.
N.B. Se uno dei due termini è negativo dobbiamo ricordarci che solo due termini su quattro saranno positivi. Infatti i cubo di un numero negativo è ancora un numero negativo ed inoltre anche uno dei tripli prodotti sarà negativo.

Pertanto

(A+B)^3= (A^3+3A^2B+3AB^2+B^3)
(A-B)^3= (A^3-3A^2B+3AB^2-B^3)

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4) Quadrato del trinomio

Si presenta nella forma

(A+B+C)^2

Anche qui svolgiamo in i calcoli in forma estesa:

(A+B+C)(A+B+C)= A^2+AB+AC+AB+B^2+BC+AC+CB+C^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC

Il quadrato del trinomio è quindi formato dai quadrati dei tre monomi e da tutti i doppi prodotti tra i monomi presi a coppie. E’ chiaro che se i monomi all’interno delle parentesi sono negativi i doppi prodotti potranno essere anch’essi negativi.

Pertanto

(A+B+C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC
(A-B+C)^2= A^2+B^2+C^2-2AB-2BC+2AC
(A+B-C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB-2BC-2AC
(A-B-C)^2= A^2+B^2+C^2-2AB-2BC-2AC

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