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Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Che cos’è il massimo comun divisore?

Per trovare il Massimo Comun Divisore (MCD) tra due o più termini devo calcolare il più grande divisore comune a tutti i termini presi in considerazione.
Per calcolare tale divisore devo scomporre tutti i termini a disposizione e poi prendere i fattori comuni e con l’esponente più piccolo.
Posso calcolare il MCD:

1)Tra due numeri.

Calcoliamo il MCD tra i numeri 27, 36 e 270.

27= 1\cdot3^3
36 = 1\cdot2^2\cdot 3^2
54 = 1\cdot2\cdot 3^3\cdot 5

Consideriamo i termini che compongono i numeri: il termine 2 non è comune a tutti i termini perciò non farà parte del MCD; il termine 5 analogamente non potrà far parte del MCD poichè non è in comune a tutti i termini; il fattore 3 invece appartiene a tutti i termini e dovrò considerarlo con l’esponente più piccolo tra tutti quelli che ho a disposizione, quindi con esponente 2.

Quindi:

MCD= 3^2=9

N.B. Qualora non ci fossero termini in comune tra tutti i termini possiamo sempre considerare il termine 1 come fattore comune.

2)Tra due monomi.

Possiamo operare nello stesso modo per quanto riguarda la parte numerica. Per quanto riguarda la parte letterale basta prendere le lettere in comune a tutti i termini e con l’esponente più piccolo.

Calcoliamo il MCD tra i termini: 16a^3b^2c, 24abc^3, 45ab^4

16a^3b^2c= 1\cdot2^4a^3b^2c
24abc^3= 1\cdot2^3\cdot3abc^3
45ab^4= 1\cdot3^2\cdot5ab^4

Quindi avremo:
MCD parte numerica = 1
MCD parte letterale = ab

quindi:

MCD = ab

3)Tra due polinomi.

Per poter calcolare il MCD tra due polinomi bisogna effettuare la fattorizzazione dei polinomi.

Prendiamo in considerazione i seguenti polinomi con relativa scomposizione:

x^2+4x+4= (x+2)^2
x^2-4= (x+2)(x-2)
x^2+6x+8= (x+2)(x+4)

Il termine (x+2) è l’unico termine in comune a tutti i polinomi e dovrò considerarlo con l’esponente più piccolo, cioè 1.

Quindi:

MCD= (x+2)

Che cos’è il minimo comune multiplo?

Per trovare il Minimo Comune Multiplo (mcm) tra due o più termini devo calcolare il più piccolo multiplo di tutti i termini considerati.
Prendiamo in esame i tre casi precedenti e calcoliamo stavolta il mcm.

1)Tra due numeri.

Calcoliamo il mcm tra i numeri 27, 36 e 270.

27= 1\cdot3^3
36 = 1\cdot2^2\cdot 3^2
54 = 1\cdot2\cdot 3^3\cdot 5

Anche se il termine 2 non è comune a tutti i termini dobbiamo considerarlo lo stesso e con l’esponente più grande cioè ; stessa cosa per il termine 5 che comparirà con l’esponente 1; il fattore 3 è comune a tutti e comparirà con l’esponente 3

Quindi:

Mcm= 2^2\cdot3^3\cdot5=540

2)Tra due monomi.

Possiamo operare nello stesso modo per quanto riguarda la parte numerica. Per quanto riguarda la parte letterale basta prendere le lettere in comune e non in comune a tutti i termini e con l’esponente più grande.

Calcoliamo il mcm tra i termini: 16a^3b^2c, 24abc^3, 45ab^4

16a^3b^2c= 1\cdot2^4a^3b^2c
24abc^3= 1\cdot2^3\cdot3abc^3
45ab^4= 1\cdot3^2\cdot5ab^4

Quindi avremo:
Mcm parte numerica = 2^4\cdot3^2\cdot5
Mcm parte letterale = a^3b^4c^3b

quindi:

Mcm= 720a^3b^4c^3

3)Tra due polinomi.

Come visto in precedenza:

x^2+4x+4= (x+2)^2
x^2-4= (x+2)(x-2)
x^2+6x+8= (x+2)(x+4)

Il termine (x+2) è in comune a tutti i polinomi e dovrò considerarlo con l’esponente più grande, cioè 2.Dovrò tuttavia considerare anche i termini (x+4) e (x-2) anche se non sono in comune a tutti i termini

Quindi:

Mcm= (x+4)(x-2)(x+2)^2