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Esercizi su equazioni di primo grado intere

Proviamo ora a risolvere alcuni esercizi sulle equazioni di primo grado intere.

Esercizio 1

Per prima cosa svolgiamo le moltiplicazioni ed eliminiamo tutte le parentesi (ricordando che il segno negativo davanti alla parentesi cambia segno a tutti i termini al suo interno). Otteniamo :

A questo punto possiamo trasportare tutte le x a sinistra dell’uguale e tutti numeri senza x (termini noti) a destra.
Ogni volta che spostiamo un temine da una parte all’altra ne cambiamo il segno
N.B. Nel fare questo passaggio in realtà stiamo utilizzando il primo principio di equivalenza, ma è più comodo, come regola pratica,immaginare di spostare il numero da una parte all’altra dell’uguale cambiandone il segno piuttosto che aggiungere a destra e a sinistra dell’uguale ogni singolo termine che vogliamo eliminare.
Si ottiene quindi:

Facendo i conti :

da cui, dividendo entrambi i membri per si ottiene

Esercizio 2: equazioni indeterminate

Facciamo le moltiplicazioni e sviluppiamo il quadrato del binomio

Spostiamo ora a sinistra i termini in x e a destra i termini noti

da cui si ottiene 0=0

Un risultato del genere ci dice che l’equazione è indeterminata ovvero ci dice che qualsiasi valore scelto per la x (nel campo dei numeri reali) esso sarà soluzione dell’equazione proposta.

Esercizio 3: equazioni impossibili

da cui:

ovvero:

Tale risultato è chiaramente una proposizione non vera. Un risultato del genere significa che l’equazione è impossibile. Ciò significa che, scelto un qualsiasi valore della x, sostituito nell’equazione darà luogo ad un risultato non vero.

Esercizio 4: equazioni con denominatori interi

Come si osserva l’equazione proposta è formata da quattro frazioni diverse. Tale equazione si affronta calcolando il minimo comune multiplo tra tutti i numeri al denominatore e ponendolo a destra e a sinistra dell’equazione.
Nel caso in esame il m.c.m. è 12

Una volta definito il denominatore comune lo si divide per ciascuno dei singoli denominatori delle varie frazioni ed il risultato lo si moltiplica per il numeratore della stessa.

Svolgendo i conti avremo:

a questo punto possiamo moltiplicare a destra e a sinistra per 12 ed eliminare i denominatori.

Equazioni di primo grado intere

Che cosa vuol dire risolvere un’equazione?
Risolvere un’equazione, in generale, significa trovare quei valori della nostra incognita che “verificano” l’equazione ovvero che sostituiti all’interno dell’equazione iniziale al posto della , mi consentono di ottenere una identità, cioè una proposizione sempre vera.
Le equazioni di primo grado possono essere intere o fratte. Le equazioni fratte si distinguono dalle intere per la presenza dell’incognita al denominatore.

Come si risolve un’equazione di primo grado intera?

Per risolvere le equazioni di primo grado intere dobbiamo tener presente due principi fondamentali:

Primo principio di equivalenza : sommando o sottraendo a destra e a sinistra di un’equazione lo stesso termine, si ottiene una equazione equivalente.

Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo a destra e a sinistra di una equazione lo lo stesso termine, si ottiene una equazione equivalente

Tenendo presente questi due principi possiamo risolvere la seguente equazione:

Per il primo principio di equivalenza posso sommare a destra e a sinistra dell’equazione:

in questo modo posso eliminare il a sinistra. Si ottiene quindi:

A questo punto, per il secondo principio di equivalenza, posso dividere a destra e a sinistra per 2, ottenendo così il valore della

da cui si ricava

Come anticipato il valore della così ottenuto è l’unico valore che, sostituito all’interno dell’equazione iniziale al posto della , mi consente di ottenere una identità

Infatti sostituendo al posto della si ottiene

ovvero che è una espressione ovviamente vera

Per ulteriori chiarimenti è consigliabile leggere il post dedicato Esercizi sulle equazioni di primo grado intere