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Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Che cos’è il massimo comun divisore?

Per trovare il Massimo Comun Divisore (MCD) tra due o più termini devo calcolare il più grande divisore comune a tutti i termini presi in considerazione.
Per calcolare tale divisore devo scomporre tutti i termini a disposizione e poi prendere i fattori comuni e con l’esponente più piccolo.
Posso calcolare il MCD:

1)Tra due numeri.

Calcoliamo il MCD tra i numeri 27, 36 e 270.

27= 1\cdot3^3
36 = 1\cdot2^2\cdot 3^2
54 = 1\cdot2\cdot 3^3\cdot 5

Consideriamo i termini che compongono i numeri: il termine 2 non è comune a tutti i termini perciò non farà parte del MCD; il termine 5 analogamente non potrà far parte del MCD poichè non è in comune a tutti i termini; il fattore 3 invece appartiene a tutti i termini e dovrò considerarlo con l’esponente più piccolo tra tutti quelli che ho a disposizione, quindi con esponente 2.

Quindi:

MCD= 3^2=9

N.B. Qualora non ci fossero termini in comune tra tutti i termini possiamo sempre considerare il termine 1 come fattore comune.

2)Tra due monomi.

Possiamo operare nello stesso modo per quanto riguarda la parte numerica. Per quanto riguarda la parte letterale basta prendere le lettere in comune a tutti i termini e con l’esponente più piccolo.

Calcoliamo il MCD tra i termini: 16a^3b^2c, 24abc^3, 45ab^4

16a^3b^2c= 1\cdot2^4a^3b^2c
24abc^3= 1\cdot2^3\cdot3abc^3
45ab^4= 1\cdot3^2\cdot5ab^4

Quindi avremo:
MCD parte numerica = 1
MCD parte letterale = ab

quindi:

MCD = ab

3)Tra due polinomi.

Per poter calcolare il MCD tra due polinomi bisogna effettuare la fattorizzazione dei polinomi.

Prendiamo in considerazione i seguenti polinomi con relativa scomposizione:

x^2+4x+4= (x+2)^2
x^2-4= (x+2)(x-2)
x^2+6x+8= (x+2)(x+4)

Il termine (x+2) è l’unico termine in comune a tutti i polinomi e dovrò considerarlo con l’esponente più piccolo, cioè 1.

Quindi:

MCD= (x+2)

Che cos’è il minimo comune multiplo?

Per trovare il Minimo Comune Multiplo (mcm) tra due o più termini devo calcolare il più piccolo multiplo di tutti i termini considerati.
Prendiamo in esame i tre casi precedenti e calcoliamo stavolta il mcm.

1)Tra due numeri.

Calcoliamo il mcm tra i numeri 27, 36 e 270.

27= 1\cdot3^3
36 = 1\cdot2^2\cdot 3^2
54 = 1\cdot2\cdot 3^3\cdot 5

Anche se il termine 2 non è comune a tutti i termini dobbiamo considerarlo lo stesso e con l’esponente più grande cioè ; stessa cosa per il termine 5 che comparirà con l’esponente 1; il fattore 3 è comune a tutti e comparirà con l’esponente 3

Quindi:

Mcm= 2^2\cdot3^3\cdot5=540

2)Tra due monomi.

Possiamo operare nello stesso modo per quanto riguarda la parte numerica. Per quanto riguarda la parte letterale basta prendere le lettere in comune e non in comune a tutti i termini e con l’esponente più grande.

Calcoliamo il mcm tra i termini: 16a^3b^2c, 24abc^3, 45ab^4

16a^3b^2c= 1\cdot2^4a^3b^2c
24abc^3= 1\cdot2^3\cdot3abc^3
45ab^4= 1\cdot3^2\cdot5ab^4

Quindi avremo:
Mcm parte numerica = 2^4\cdot3^2\cdot5
Mcm parte letterale = a^3b^4c^3b

quindi:

Mcm= 720a^3b^4c^3

3)Tra due polinomi.

Come visto in precedenza:

x^2+4x+4= (x+2)^2
x^2-4= (x+2)(x-2)
x^2+6x+8= (x+2)(x+4)

Il termine (x+2) è in comune a tutti i polinomi e dovrò considerarlo con l’esponente più grande, cioè 2.Dovrò tuttavia considerare anche i termini (x+4) e (x-2) anche se non sono in comune a tutti i termini

Quindi:

Mcm= (x+4)(x-2)(x+2)^2


Esercizi sulle scomposizioni

Category : Varie

Prima di leggere la parte dedicata agli esercizi è consigliabile leggere la sezione di teoria

Una delle più grande difficoltà nel processo di fattorizzazione è capire quale scomposizione utilizzare nei diversi casi. Tentiamo tuttavia di dare una linea guida che può essere seguita nella maggior parte dei casi che troveremo davanti.

Di fronte ad un polinomio possiamo porci in ordine le seguenti domande:

1) Posso fare il raccoglimento totale?

Posso fare il raccoglimento totale solo se tutti i monomi hanno lo stesso termine in comune.

2) Se non posso fare il raccoglimento totale posso fare il raccoglimento parziale?

Posso fare il raccoglimento parziale solo se il numero di monomi è pari e posso fare il raccoglimento totale a coppie o a terzetti di monomi.

3) Se non posso fare il raccoglimento parziale il polinomio è forse un prodotto notevole?

Posso capire se il polinomio è un prodotto notevole dall’analisi dei monomi che lo compongono:

a)quadrato di binomio : se ho tre monomi di cui due sono quadrati e uno è il doppio prodotto
b) Somma per differenza: se ho due monomi che si presentano sotto forma di differenza di quadrati
c)cubo di binomio: se ho quattro termini di cui due sono cubi e tre sono tripli prodotti
d)quadrato di trinomio: se ho sei termini di cui tre sono quadrati e tre sono doppi prodotti
e) somma o differenza di cubi: se ho due monomi che si presentano sotto forma di differenza tra due cubi

4) Se non è un prodotto notevole è forse un trinomio caratteristico?

Il polinomio può essere un trinomio caratteristico se ho un trinomio che non è un quadrato di binomio. Osserviamo tuttavia che anche il quadrato di binomio non è nient’altro che un trinomio caratteristico.
N.B. Non è detto che un trinomio possa scomporsi necessariamente con la regola vista per il trinomio caratteristico. Un trinomio può essere anche non-scomponibile se non è un quadrato.

5) Infine se non posso utilizzare nulla di quanto visto in precedenza, posso utilizzare la regola di Ruffini?

Esercizio 1

Scomponiamo

3ax-3bx-6ay+6by

Mi chiedo innanzitutto se posso operare il raccoglimento totale.
La risposta è SI poiché tutti i termini hanno in comune il 3.
Quindi:

3(ax-bx-2ay+2by)

A questo punto mi chiedo se posso utilizzare il raccoglimento parziale.
Dato che i monomi sono quattro possiamo provare a vedere cosa succede se raccolgo i monomi a coppie.
Se per esempio raccolgo x dai primi due termini e -2y dal terzo e il quarto ottengo:

3[x(a-b)-2y(a-b)]= 3[(a-b)(x-2y)]

Ho quindi fattorizzato il mio polinomio.

Esercizio 2

3x^4-12ax^2+12a^2

Anche in questo caso posso operare il raccoglimento totale del valore 3 ottenendo:

3(x^4-4ax^2+4a^2)

Poiché sono in presenza di un trinomio non posso operare il raccoglimento parziale.
Posso quindi chiedermi se sono in presenza di un quadrato di binomio o di un trinomio caratteristico.
Poiché ho due quadrati posso ipotizzare di avere a che fare con un quadrato di binomio: i termini x^4 e 4a^2
sono infatti i quadrati di x^2 e di 2a ed inoltre il termine -4ax^2 è il doppio prodotto tra i due.
Pertanto:

3(x^4-4ax^2+4a^2)= 3(x^2-2a)^2

Esercizio 3

Prendiamo ora in esame il polinomio

a^4-5a^2+4

Scartiamo la possibilità di utilizzare sia il raccoglimento totale che quello parziale. Essendo un trinomio possiamo chiederci se è un quadrato di binomio oppure un trinomio caratteristico.
In effetti esistono due termini al quadrato che sono a^4=(a^2)^2 e 4= 2^2. Tuttavia il termine -5a^2 non può essere il doppio prodotto tra a^2 e 2 che invece sarebbe 4a^2.

Ci possiamo quindi chiedere se è un trinomio caratteristico. Dobbiamo quindi trovare due numeri che come somma hanno -5 e come prodotto +4. Questi due numeri sono chiaramente -1 e -4.

Pertanto possiamo scrivere:

(a^2-1)\cdot(a^2-4)

Entrambi i binomi sono chiaramente delle somme per differenze. Quindi possiamo scomporre:

(a-1)\cdot(a+1)\cdot(a-2)\cdot(a+2)

Esercizio 4

Prendiamo in esame il polinomio:

\frac{1}{3}x^2- \frac{2}{9}xy+\frac{1}{27}y^2

Posso innanzitutto utilizzare il raccoglimento totale del fattore \frac{1}{3}

da cui:

\frac{1}{3}x^2- \frac{2}{9}xy+\frac{1}{27}y^2 = \frac{1}{3}(x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^2)

il trinomio tra parentesi è chiaramente un quadrato di binomio quindi:

\frac{1}{3}(x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^2)= \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}y)^2

Esercizio 5

Prendiamo in considerazione il polinomio:

(2a+3b)^2-(4a+6b)(a+b)

Potremmo pensare di svolgere il quadrato e la moltiplicazione e poi verificare se è possibile fare dei raccoglimenti. In realtà però è più semplice fare un’altra cosa.
Se infatti dalla prima parentesi del secondo termine raccogliessimo il 2 otterremmo:

(2a+3b)^2-(4a+6b)(a+b)= (2a+3b)^2-2(2a+3b)(a+b)

a questo punto osserviamo che il termine (2a+3b) è in comune ai due termini perciò posso raccoglierlo:

(2a+3b)^2-2(2a+3b)(a+b)= (2a+3b)[(2a+3b)-(a+b)]

da cui:

(2a+3b)[2a+3b-a-b]= (2a+3b)(a+2b)