Prodotti Notevoli
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I prodotti notevoli sono delle formule che ci consentono di trovare delle scorciatoie per il calcolo della moltiplicazione tra alcuni polinomi e del loro elevamento a potenza.
1) Somma per differenza o differenza di quadrati
La somma per differenza si presenta nella forma
Se svolgessimo i calcoli con la normale moltiplicazione tra polinomi otterremmo
da cui, eliminando i termini opposti, otteniamo
Una regola pratica per svolgere velocemente la somma per differenza è fare il quadrato del primo termine e sottrarre il quadrato del secondo.
2) Quadrato del binomio
Si presenta nella forma:
oppure
Se scrivessimo la potenza in forma estesa potremmo scrivere
da cui eseguendo le moltiplicazioni:
si osserva quindi che il quadrato del binomio è composto dai quadrati dei due termini tra parentesi e dal doppio prodotto di questi due ( cioè il primo per il secondo per 2)
N.B. Se tra i due termini compare il segno negativo anziché quello positivo, il doppio prodotto è negativo anch’esso.
Pertanto
3) Cubo del binomio
Si presenta nella forma
Scritto in forma estesa otterremmo
Il cubo del binomio quindi è composto dal cubo dei due termini e dai tripli prodotti del quadrato del primo per il secondo e del quadrato del secondo per il primo.
N.B. Se uno dei due termini è negativo dobbiamo ricordarci che solo due termini su quattro saranno positivi. Infatti i cubo di un numero negativo è ancora un numero negativo ed inoltre anche uno dei tripli prodotti sarà negativo.
Pertanto
4) Quadrato del trinomio
Si presenta nella forma
Anche qui svolgiamo in i calcoli in forma estesa:
Il quadrato del trinomio è quindi formato dai quadrati dei tre monomi e da tutti i doppi prodotti tra i monomi presi a coppie. E’ chiaro che se i monomi all’interno delle parentesi sono negativi i doppi prodotti potranno essere anch’essi negativi.
Pertanto